Logica fuzzy, si può davvero affermare: “O vero o falso”?

La logica fuzzy è una logica in cui si può attribuire, ad ogni proposizione, un grado di verità compreso tra 0 e 1, estremi inclusi. Chi mastica un po’ di matematica non avrà problemi a capire la frase suddettta; per gli altri, la logica fuzzy afferma (e formalizza!) che non esistono solo vero assoluto e falso assoluto, ma anche valori di verità intermedi. Una proposizione che ha grado di verità 0 è assolutamente falsa, mentre una proposizione che ha grado di verità 1 è assolutamente vera. E una con grado 0,5? In logica classica non ha senso chiederlo, in quanto una proposizione è o vera o falsa, aut aut, zero o uno, bianco o nero. In logica fuzzy sì invece, e sarebbe al 50% vera e al 50% falsa.

Un po’ di storia

La logica classica ha tre principi di base, di derivazione aristotelica: il principio di identità (ogni proposizione è uguale a se stessa), il principio di non contraddizione (una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa) e il principio del terzo escluso, o tertium non datur (una proposizione è sempre o vera o falsa e non può non essere nè vera nè falsa, perchè questo implicherebbe un terzo valore di verità, ma come afferma la definizione stessa, tertium non datur, un terzo valore non è dato). La logica classica è quindi booleana, può assumere valore di verità 0 (falsa) o 1 (vera), nient’altro.

Le logiche polivalenti sono estensioni della logica booleana, in quanto possono assumere altri valori di verità oltre a 0 e 1, compresi tra essi. Le prime logiche polivalenti, teorizzate attorno al 1920, prevedevano solo un altro valore di verità, il valore problematico; la logica fuzzy prevede invece infiniti possibili valori di verità, compresi tra zero e uno. In tutte le logiche polivalenti risulta quindi falso il principio del terzo escluso, viene rimodulato il principio di non contraddizione (in base al tipo di logica), mentre continua a valere il principio d’identità.

La logica fuzzy nasce tra gli anni ’60 e ’70 del 1900, quando Lotfi Zadeh pubblica due articoli in cui formalizza prima gli insiemi sfumati (in cui un elemento non è per forza incluso o escluso, ma ha un certo grado di appartenenza a quell’insieme), nel 1965, e poi la logica sfumata, nel 1973.

Principi e utilità

Come si stabilisce il grado di verità di una proposizione? Tramite una funzione specifica di ogni insieme sfumato, detta funzione di appartenenza μ_F(x)= μ, con 0 ≤ μ ≤ 1. Ad ogni enunciato x viene applicata la funzione μ_F con codominio C(μ_F)=[0;1] (la funzione restituisce solo valori compresi tra 0 e 1). Come per le altre logiche polivalenti, in logica fuzzy non vale il principio del terzo escluso, mentre vale il principio di non contraddizione così riformulato: una stessa proposizione non può avere contemporaneamente diversi valori della funzione di appartenenza (per il semplice fatto che una funzione non può associare, allo stesso valore di x, due diversi valori di μ, perché non sarebbe una funzione. Ricordiamo che una funzione y = f(x) associa ad ogni x al massimo un y).

La logica fuzzy ha moltissime applicazioni pratiche o matematiche, ad esempio quella di sciogliere i paradossi della logica classica. Consideriamo la proposizione A: R20;Questa frase è falsa”. In logica classica, A è vera o falsa? Analizziamo entrambi i casi. Se A è vera, contemporaneamente è falsa in quanto afferma di esserlo e la supponiamo vera; se A è falsa, contemporaneamente è vera perchè afferma di essere falsa. Un paradosso come questo risulta irrisolvibile per la logica classica, mentre in logica fuzzy ha una soluzione di una semplicità quasi disarmante: è al 50% vera e al 50% falsa.

Oltre ad interessantissime applicazioni matematiche, la logica fuzzy ha numerose applicazioni pratiche, ad esempio in informatica, in finanza o generalmente nell’industria. Resta tuttavia primario l’interesse filosofico di una logica in cui una proposizione può essere un po’ falsa e un po’ vera, senza il rigido aut aut imposto dai principi aristotelici.